Языки и исчисления

Неполные и неразрешимые теории


Предыдущий раздел мог создать впечатление, что наугад взятая теория скорее всего окажется полной, разрешимой, а возможно, и конечно аксиоматизируемой. Это совсем не так.

Откуда вообще берутся в математике аксиоматические теории? Иногда мы пытаемся построить аксиоматически теорию какой-то конкретной структуры (скажем, теорию действительных чисел со сложением и умножением). В других случаях мы стараемся выделить общие свойства различных структур. Например, аксиомы группы фиксируют общие свойства различных групп, и с самого начала ясно, что такая теория не должна и не может быть полной. То же самое можно сказать и про теорию линейно упорядоченных множеств — полнота такой теории означала бы, что все линейно упорядоченные множества (или группы) элементарно эквивалентны, то есть обладают одними и теми же свойствами, выражаемыми формулами. Это, конечно, не так.

Что касается конкретных структур, то и для них естественные теории не всегда оказываются полными. Классический пример — натуральные числа со сложением и умножением. Для них имеется естественная формальная теория (называемая формальной арифметикой). Ее аксиомы включают в себя обычные свойства сложения и умножения, а также аксиомы индукции. Опыт показывает, что любое рассуждение теории чисел, в котором речь идет только о конечных объектах, может быть формально записано в виде вывода из аксиом этой теории. Более того, многие доказательства, использующие бесконечные объекты (скажем, важнейшую в теории чисел -функцию Римана), могут быть модифицированы и погружены в эту формальную теорию. Тем не менее эта теория неполна (и не может быть полна, как мы увидим в этом разделе).

Среди естественных неполных теорий бывают разрешимые и неразрешимые. Например, теория линейно упорядоченных множеств разрешима, теория абелевых групп разрешима, а теория групп неразрешима. Подробный рассказ об этом далеко выходит за рамки нашей книжки; написанный М.О.Рабином обзор соответствующих результатов можно найти в справочнике по математической логике (часть III, Теория рекурсии [26], глава 4).

Мы же ограничимся тремя примерами (теория равенства, теория полугрупп, формальная арифметика).



Содержание раздела