Языки и исчисления

Вещественно замкнутые поля


Более сложно сформулировать, какие свойства вещественных чисел реально используются при доказательстве теоремы Тарского-Зайденберга (раздел "Теоремы Тарского-Зайденберга"). Дело в том, что мы ссылались на разные факты из анализа (понятие производной, теорема Ролля, асимптотика многочленов). Однако на самом деле достаточно некоторых алгебраических свойств поля — как говорят, поле должно быть "вещественно замкнутым".

Поле называется упорядоченным, если на нем задан линейный порядок, причем он согласован со сложением ( влечет ) и умножением ( влечет ).

139. Покажите, что любое упорядоченное поле имеет характеристику

и что в любом упорядоченном поле сумма квадратов не может равняться .

Упорядоченное поле называется вещественно замкнутым, если любой многочлен, имеющий на концах отрезка разные знаки, имеет корень на этом отрезке. (Отметим в скобках, что существует несколько эквивалентных определений вещественно замкнутого поля, см. учебник ван дер Вардена [4]

мы выбрали наиболее удобное для наших целей.)

Мы не можем записать определение вещественной замкнутости в виде формулы, поскольку степень многочлена может быть любой. Но можно написать много формул — по одной для каждой степени многочлена. Например, для многочленов степени получится формула

Теория, состоящая из аксиом упорядоченного поля (в том числе аксиом равенства) и этих дополнительных аксиом, называется теорией вещественно замкнутых полей. Покажем, что в любом вещественно замкнутом поле выполнены основные факты о многочленах и их производных. Прежде всего заметим, что в алгебре естественно определять производную многочлена не как предел, а чисто формально:

(для любого положительного целого ), далее по линейности. Степень производной многочлена на единицу меньше степени самого многочлена. Выполнены основные правила дифференцирования (линейность, правило дифференцирования произведения, формула Тейлора).

Теперь отметим некоторые свойства многочленов, связанные с порядком. Пусть многочлен в какой-то точке равен нулю, а производная его в этой точке больше нуля. Тогда в некоторой окрестности этой точки он положителен справа и отрицателен слева. (В самом деле, можно применить формулу Тейлора и оценки, показывающие, что вблизи нуля знак определяется линейной частью.)

Справедливо и свойство сохранения знака: если в какой-то точке многочлен положителен, то и в достаточно близких точках он положителен. Слова "достаточно близких" понимаются в обычном смысле (), только теперь — не действительное число, а элемент поля.

Аналогичным образом можно сформулировать и доказать такое утверждение: при всех достаточно больших значениях аргумента знак многочлена определяется его старшим коэффициентом (обычные оценки вполне годятся).

Более сложно доказывается, что что если производная многочлена положительна на интервале , то он неубывает на отрезке . Пусть это не так. Добавив к многочлену константу, можно считать, что для каких-то точек этого отрезка имеют место неравенства , , и потому имеет корень на интервале (вещественная замкнутость).

Число корней многочлена (в любом поле) конечно, поэтому среди корней многочлена на интервале есть наименьший корень . Слева от многочлен должен быть положительным (поскольку корень первый), но одновременно вблизи и отрицательным (так как по предположению).

Теперь легко понять, что многочлен с положительной производной на строго возрастает на : если бы в двух точках он принимал одинаковые значения, то между ними он был бы константой (чего не может быть для непостоянного многочлена).

Следствие: многочлен, производная которого не имеет корней на , либо строго возрастает, либо строго убывает на . В самом деле, свойство вещественной замкнутости можно применить и к производной, следовательно она либо всюду положительна, либо всюду отрицательна. В частности, справедлива теорема Ролля (многочлен с равными значениями на концах отрезка имеет нуль производной).

После такой тренировки наши рассуждения про знаки многочленов диаграммы легко провести для произвольного поля. Легко понять также, что деление с остатком (точнее, операция модифицированного остатка) имеет смысл для любого поля, и что целые числа (которые были коэффициентами многочленов) содержатся в любом поле.

Итак, элиминация кванторов дает формулу, равносильную исходной в любом вещественно замкнутом поле. Отсюда, как обычно, следует, что теория вещественно замкнутых полей совпадает с элементарной теорией упорядоченного поля вещественных чисел и потому полна, а также разрешима, и что все вещественно замкнутые упорядоченные поля элементарно эквивалентны.


Содержание раздела